Cuando estudiamos una función, ¿qué es cóncavo y qué es convexo?

Mientras lees esta pregunta es posible que estés pensando que es una tontería, porque a ti en el  instituto te lo dijeron bien claro con lo de «Con-vexo» (Con beso) al derecho o al revés, o simplemente te obligaron a que te lo aprendieras de memoria porque tu profesor o profesora tampoco sabía muy bien por qué es así.

Seguramente lo que no te dijeron es que la concavidad y la convexidad dependen del punto de vista desde el que se observa la gráfica. Verás:

Por definición algo es cóncavo cuando la persona observante ve que ese objeto tiende a tener una profundidad. Por ejemplo cuando te asomas a ver si quedan cereales o frutos secos dentro de un cuenco.

Por el contrario, algo es convexo cuando su tendencia es salir hacia afuera, en dirección al observante. Por ejemplo las jorobas de un camello.

Entonces claro, si hablamos del cuenco de antes, el objeto en sí no es cóncavo o convexo, sino que dependerá de si lo estoy mirando desde arriba o desde abajo.

Pues exactamente lo mismo ocurre con las funciones.

Se da la circunstancia de que, como en tantos otros formalismos, los físicos y los matemáticos tienen un punto de vista distinto, aunque ambos correctos.

Los físicos históricamente han mirado las funciones desde arriba, entonces para ellos la parábola y=x^2 es cóncava.

En cambio los matemáticos hemos mirado normalmente las funciones desde abajo, por lo que para nosotros la parábola y=x^2 es convexa.

¿Qué es lo correcto entonces? Pues ninguna de las dos opciones es mejor que la otra. Es solo un punto de vista tan respetable como cualquier otro.

Yo para curarme en salud, y como matemático que soy, siempre lo escribo de la siguiente forma, y enseño a mis alumnas y alumnos para que hagan lo mismo:

f(x) es convexa (U) en (0,+ ∞) (o el dominio que sea) y f(x) es cóncava (∩) en (-∞,0)

Así, con esa U ó ∩ que marca la curvatura, estamos dejando claro cuál es nuestro punto de vista.

Ya por último nos falta abordar otra cosita que ha avivado el fuego de esta polémica por más de un siglo.

Si eres español y tienes más de 30 años, seguramente te estarás preguntando: «¿Y por qué a mí en clase de matemáticas me lo enseñaron desde el punto de vista de los físicos?»

Por desgracia en España siempre hemos estado bastante rezagados en todo lo relacionado con cualquier ciencia, y los primeros estudios más o menos serios y avanzados se comenzaron a mediados del S.XIX. Evidentemente en aquella época no había prácticamente libros científicos escritos en castellano y se comenzaron a escribir y traducir obras en inglés, alemán o francés.

Una de esas obras en lengua extranjera fue la que se tomó como base del estudio de las matemáticas en España. El «problema» fue que era un libro de matemáticas destinado a estudiantes de física, y por eso en España le hemos llevado la contraria al resto del mundo por más de 100 años.

Esta costumbre comenzó a cambiar a finales de la década de los 80, intentando de esa forma adaptarnos al resto del mundo. Pero hoy día todavía quedan profesores y profesoras mayores que siguen defendiendo esta «tradición» española tan especial.

Como casi todo en la vida, la concavidad y la convexidad tienen un porqué y, como ya lo conoces, la opción que elijas es algo personal tuyo.»