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by profe.mates.jac

La discusión sobre la continuidad de la función f(x)=1/x – artículo de gaussianos.com

 

Gracias a www.gaussianos.com

Fuente: https://www.gaussianos.com/la-funcion-fx1-x-y-una-discusion-continua/?utm_campaign=rss-gaussianos-20220120&utm_medium=email&utm_source=acumbamail

 

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Diagrama de Voronoi – la forma matemática de dividir el mundo (por Clara Grima)

Un artículo super interesante de Clara Grima. Recomiendo mucho su lectura.

Usando Geogebra para construirlo:

 

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El teorema de los cuatro cuadrados

El teorema de los cuatro cuadrados nos dice que: «Todo número entero positivo puede descomponerse como suma de cuatro cuadrados de números enteros»

Voy a poner unos ejemplos:

  • 254 = 15² + 5² + 2² + 0²
  • 522211 = 609² + 389² + 3² + 0²
  • 8764 = 70² + 62² + 4² + 2²
  • 15 = 3² + 2² + 1² + 1²
  • 2021 = 42² + 16² + 1² + 0²
  • 2022 = 43² + 13² + 2² + 0²

Dicho teorema aparece en el libro Arithmetica de Diofanto pero la demostración primera conocida del mismo se debe a Joseph-Louis Lagrange en 1770 (por eso se le conoce como Teorema de Lagrange).

En el siguiente enlace puedes introducir cualquier número entero positivo en el recuadro superior (grande) y después de dar al botón Sum of squares te aparecerá su descomposición como suma de cuatro cuadrados (si te aparecen menos cuadrados, rellenas con +0² hasta completar los cuatro cuadrados):

https://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM

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Números primos de la forma n! – 1 (factorial de un número menos uno)

El factorial de un número n se define de la siguiente forma: n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*….*3*2*1. Así el factorial de 5, 5!, es 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Representa el número de permutaciones ordinarias de n elementos (forma de ordenar n elementos distintos cogiéndolos a todos ellos). Se define 0! = 1 y 1! = 1.

Ejemplo: si queremos ver las permutaciones de los elementos A, B, C y D, tendríamos que estas son 4! = 4*3*2*1 = 24 ; es decir, estas:

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

Ahora bien:

Si hacemos el factorial de un natural y le quitamos una unidad obtendremos un número de la forma n! – 1 que se corresponde con un número natural. 

Por ejemplo: 4! – 1 = 23 (que resulta ser primo).

¿cuál es el número primo mayor hasta la fecha que se corresponde con esa forma: factorial de un natural n menos uno?

Observa la siguiente ilustración (traducción debajo):

 

Traducción: "Este es el número primo más grande conocido de la forma n!-1, con 23560 dígitos: 6917! - 1. Hasta ahora,
solo hay 21 números primos conocidos de este tipo. Curiosamente, esta propiedad parece bastante común para n pequeños
como n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, etc., pero se vuelve extremadamente rara para n más grandes.
¡Divertirse!"

 

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Números triangulares

Un número triangular cuenta objetos dispuestos en un triángulo equilátero. 

El n-ésimo número triangular, Tn , es el número de puntos en la disposición triangular con n puntos en un lado, y es igual a la suma de los n números naturales de 1 a n, siendo por convención, el 1 el primer número triangular. Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban Tetraktys.

 

 

Cada número triangular Tn está definido por la fórmula: Tn = n(n+1)/2 (véase la demostración en la página que indico a continuación).

 

Sigue leyendo en: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_triangular

 

Gracias a la Wikipedia (es.wikipedia.org)

 

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Unos números cuasi-pitagóricos

Una publicación de Pedro Miguel González Urbaneja (Pedro Miguel González Urbaneja | Facebook )

EL NÚMERO ÁUREO (Φ), EL NÚMERO e Y EL NÚMERO Pi (π) SON CUASI-PITAGÓRICOS★ Φ² + e² ≈ π²►«…

Excelsas, supremas, excelentísimas, incomprensibles, inestimables, innumerables, admirables, inefables, singulares cualidades…, que corresponden por semejanza al Dios mismo».

–– Luca PACIOLI (1447.1517). Célebre matemático renacentista (amigo de Leonardo y de los grandes artistas geómetras del período), refiriéndose a las cifras decimales del número áureo en su obra

–– “Summa de Arithmetica Geometría Proportioni et Proportionalità”.

►«Quien descubra el misterio de π , comprenderá el pensamiento de Dios… ».

–– Isaac NEWTON

►«¡Qué poema el análisis del número áureo!».

–– Paul VALERY (1971-1945). Escritor, poeta, ensayista y filósofo francés.

► «Dondequiera que haya un número está la belleza».

–– Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica y metodológica.

★ Los tres números Φ, e, π, están relacionados de forma cuasi-pitagórica: es decir:

Φ² + e² ≈ π²

El número Φ (áureo), el número e (euleriano) y el número π (pi, arquimediano) son tres de los más importantes y fascinantes de toda la Matemática. Estos tres números han captado la atención de los matemáticos y de los aficionados a la ciencia de Pitágoras, Arquímedes, Euler y Gauss, desde tiempo inmemorial, y además han gozado de especial curiosidad e interés no solo por la belleza de sus propiedades o la importancia de sus aplicaciones, sino también porque aparecen en las formas más imprevistas y en los lugares más inesperados.

El número áureo Φ es irracional (lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros) y algebraico (es la raíz de un polinomio de coeficientes enteros, x² − x −1). Está vinculado a la “Divina Proporción” (o sección áurea), que aparece por doquier, allí dónde hay una especial intensificación de la belleza, tanto en la Naturaleza como en el Arte.

● Φ = 1.6180339887498948482045868343656381177203……..

El número e=Lim [n→∞](1 + 1/n)^n. Es un número irracional y trascendente (no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros). Es la base del logaritmo natural o neperiano. El número e aparece en la radioactividad, en la evolución de las poblaciones humanas o bacterianas, en la Economía y en la Estadística. Es un número vinculado de forma especial al crecimiento. El número e se considera el más importante del Análisis Matemático.

● e = 2. 71828182845904523536028747135266249775724709369995…….

El número π (Pi) es irracional y trascendente. Es el cociente entre la longitud de toda circunferencia y la longitud de su diámetro. Es el número más importante de la Geometría. Tal vez el número que ha fascinado a mayor número de personas en todas las civilizaciones, donde aparece en multitud de documentos (incluso en la Biblia), ya sea por su esquiva naturaleza o por su ubicuidad. Vinculado secularmente al clásico problema de la “Cuadratura del Círculo”, nacido en la Grecia helénica, no resuelto de forma definitiva hasta 1882 por Lindemann. Es el número sobre el que más documentos se han escrito y hasta tiene un día al año de celebración, el 14 de marzo (representación de la fecha en Estados Unidos en la forma 3.14), que casualmente coincide con el cumpleaños de Albert Einstein.

● π=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286…..

Los tres números están relacionados de forma cuasi-pitagórica, es decir:● Φ² + e² ≈ π²

Calculemos:

► Φ² = 1.6180339887498948482 x 1.6180339887498948482 = 2.61803398874989484818974352655690104324

e² = 2.7182818284590452353602874713527 x 2.7182818284590452353602874713527 = 7.38905609893065022723042746057521169651031894078272262316779729

► Φ² + e² = 2.61803398874989484818974352655690104324 + 7.38905609893065022723042746057521169651031894078272262316779729 = 10.00709008768054507542017098713211273975031894078272262316779729

► π² = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286 x 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286 = 9.869604401089358618834490999876151135313699407240790626413349376220044822417892065892884297517360029251457007762396173276980714409571950602827820313796►

Por tanto: Φ² + e² ≈ π². C.Q.D.

Pedro Miguel González Urbaneja | Facebook

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El número constante de Kaprekar

A la hora de elegir un número de la Lotería de Navidad, hay muchos que afirman no ser «supersticiosos» y dejar totalmente al azar, como el propio sorteo, la elección de números. «El que sea», es una de las frases más escuchadas estos días en las administraciones de Lotería, junto con el tradicional «que acabe en este número…». Porque los españoles también confiamos mucho en determinadas terminaciones, que juzgamos como potenciales candidatas para el Premio Gordo. Hay quien también elige sus dígitos «de la suerte» en base a fechas especiales o quien lleva apostando por exactamente el mismo número desde hace años. Pero puede que este año a usted le apetezca comprar una combinación de la Lotería de Navidad basada en algo más particular, que llega desde la raíz misma de la propia ciencia de los números: las Matemáticas. ¿Qué le parece apostar todo al «misterioso» número 6174, que esconde la constante de Kaprekar?

En 1949, el matemático indio Kaprekar de Devlali ideó un proceso que ahora se conoce como la constante de Kaprekar. Él descubrió que, llevando a cabo una serie de restas, un número de cuatro dígitos donde los números no son todos iguales (es decir, que no sean 1111, 2222, …), las operaciones llevan inevitablemente el resultado hasta el número 6174. Una vez elegido el número, hay que reorganizar los dígitos para obtener los números más grandes y más pequeños que estos dígitos pueden formar. Si cogemos el número más pequeño y más grande obtenidos y los restamos, nos dará un dígito diferente. Después repetiremos la operación con ese nuevo número. Llegará un momento en el que la solución de la operación resultará igual a 6174. Y, a partir de ahí, el resultado será siempre el mismo.

Sigue leyendo —-> https://cutt.ly/EhBwvjg

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Todos los números son interesantes, incluso el 1089.

Todos los números son interesantes, incluso el 1089. 

Publicado por  el 3 de mayo de 2011 en Curiosidades, Números enteros | 7 comentarios

Que todos los números (en este post nos referimos a enteros positivos) son interesantes ya lo sabíamos desde hace mucho, y si no es así no hay más que leer a nuestro admirado Martin Gardner. Uno de nuestros lectores, Andrés, también lo piensa. Por ello el año pasado envió a sus amigos el siguiente texto en víspera de su cumpleaños, que este año me ha enviado a mí dedicándomelo en mi 2^5 cumpleaños:

Uno de los axiomas fundamentales de toda la Matemática es el Axioma de buena ordenación, que dice:
Todo conjunto no vacío de enteros positivos contiene un elemento mínimo.
Lo anterior viene a colación porque a veces nos topamos con un número que parece aburrido o poco interesante, pongamos como ejemplo 1089. Veamos qué nos dice el Axioma de buena ordenación acerca de los números que nos parecen no interesantes:
Supongamos que existe por lo menos un número positivo no interesante. Entonces el conjunto de todos los números positivos no interesantes no es vacío y por lo tanto tiene un mínimo: el menor número positivo no interesante, que por ser precisamente el menor número positivo no interesante es interesante. Los números negativos son interesantes ya que su inverso aditivo es un número interesante, y el 0, por múltiples razones, es también un número interesante. Por lo tanto, todos los números enteros son interesantes.
El gran matemático ingles G. H. Hardy no pensaba así hasta que un día, yendo a visitar al hospital a su protegido indio S. Ramanujan, le dijo a éste para entretenerlo:
“…he llegado hasta aquí en un taxi cuyo número de placa me parece poco interesante, 1729”
Ramanujan inmediatamente le contestó:
“¡No Hardy, 1729 es un número muy interesante. Es el menor número entero positivo expresable como la suma de dos cubos en dos formas diferentes:

1729 = 9^3+10^3 = 1^3+12^3!”

El día de mañana cumplo 50 años. 50 es un número muy interesante, es el menor entero positivo expresable como la suma de dos cuadrados de números positivos en dos formas diferentes:

50 = 5^2 + 5^2 = 1^2 + 7^2.

Y en cuanto al primer número que mencioné, el 1089…¡es muy interesante!
Elijan cualquier número de tres dígitos diferentes, digamos 257, inviértanlo, o sea 752, resten el menor del mayor, 752 – 257 = 495 (si les resultó un número de dos dígitos, antepónganle un 0), inviertan sus dígitos y súmenlo con el original, es decir, 594 + 495, ¿y que resulta?, ¡siempre 1089!
Volviendo a mi cumpleaños, no habrá festejo, no me parece interesante, 🙂
Saludos.

Pues sí, es muy interesante el 1089. En Gaussianos ya había aparecido este curioso número, que yo recuerde, en dos ocasiones: en este sumatorio de enlaces protagonizando una campaña de Audi y en este post donde se comentaba la propiedad que nos muestra Andrés al final de su escrito. Aunque en alguno de los comentarios de este artículo ya se daban formas de comprobar que esa propiedad es cierta, quiero terminar esta entrada dando una demostración de este hecho:
Si nuestro número es abc, supongamos que a > c. Este número se puede escribir como 100a+10b+c y, por tanto, su inverso, cba, se puede escribir como 100c+10b+a. Restemos estos números:

100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99 (a-c)

Llamemos, por comodidad, k a a-c (que seguro que es un número natural entre 1 y 9). La cuestión ahora es invertir el resultado de la resta anterior y sumar lo que se obtenga al invertir al propio resultado de dicha resta. Vamos a expresar entonces 99k de una manera que nos permita conocer cuáles son sus dígitos, para así poder invertir dicho número:

begin{matrix} 99k=100k-k=100(k-1+1)-k=100(k-1)+100-k= \ =100(k-1)+90+10-k=100(k-1)+9 cdot 10+10-k end{matrix}

Como k está entre 1 y 9, tenemos que 10-k también está entre 1 y 9, por lo que esa es la cifra de las unidades. La cifra de las decenas es 9 y la de las centenas es k-1. El número que resulta al invertir es entonces:

100(10-k)+9 cdot 10+(k-1)

¿Qué ocurre si sumamos estos dos números? Pues…bueno, mejor veámoslo:

begin{matrix}[100(k-1)+9 cdot 10+10-k]+[100(10-k)+9 cdot 10+(k-1)]= \ =100(k-1+10-k)+10(9+9)+(10-k+k-1)=100 cdot 9 + 10 cdot 18 + 9= \ =900+180+9=1089 end{matrix}

Curiosa propiedad numérica la que posee este 1089. Y es que hay números bien extraños en el vasto mundo de los números enteros…
https://www.gaussianos.com/todos-los-numeros-son-interesantes-incluso-el-1089/

Gracias a http://www.gaussianos.com 

by profe.mates.jac

Cuidadín con el modo seleccionado en la calculadora (trabajo con ángulos)

Cuando te das cuenta, al final, de que has hecho todo el examen de Trigonometría con la calculadora puesta en radianes.


https://matematicascercanas.com/2018/04/15/examen-calculadora-radianes/#more-7949