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by profe.mates.jac

Diagrama de Voronoi – la forma matemática de dividir el mundo (por Clara Grima)

Un artículo super interesante de Clara Grima. Recomiendo mucho su lectura.

Usando Geogebra para construirlo:

 

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El teorema de los cuatro cuadrados

El teorema de los cuatro cuadrados nos dice que: «Todo número entero positivo puede descomponerse como suma de cuatro cuadrados de números enteros»

Voy a poner unos ejemplos:

  • 254 = 15² + 5² + 2² + 0²
  • 522211 = 609² + 389² + 3² + 0²
  • 8764 = 70² + 62² + 4² + 2²
  • 15 = 3² + 2² + 1² + 1²
  • 2021 = 42² + 16² + 1² + 0²
  • 2022 = 43² + 13² + 2² + 0²

Dicho teorema aparece en el libro Arithmetica de Diofanto pero la demostración primera conocida del mismo se debe a Joseph-Louis Lagrange en 1770 (por eso se le conoce como Teorema de Lagrange).

En el siguiente enlace puedes introducir cualquier número entero positivo en el recuadro superior (grande) y después de dar al botón Sum of squares te aparecerá su descomposición como suma de cuatro cuadrados (si te aparecen menos cuadrados, rellenas con +0² hasta completar los cuatro cuadrados):

https://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM

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Números primos de la forma n! – 1 (factorial de un número menos uno)

El factorial de un número n se define de la siguiente forma: n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*….*3*2*1. Así el factorial de 5, 5!, es 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Representa el número de permutaciones ordinarias de n elementos (forma de ordenar n elementos distintos cogiéndolos a todos ellos). Se define 0! = 1 y 1! = 1.

Ejemplo: si queremos ver las permutaciones de los elementos A, B, C y D, tendríamos que estas son 4! = 4*3*2*1 = 24 ; es decir, estas:

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

Ahora bien:

Si hacemos el factorial de un natural y le quitamos una unidad obtendremos un número de la forma n! – 1 que se corresponde con un número natural. 

Por ejemplo: 4! – 1 = 23 (que resulta ser primo).

¿cuál es el número primo mayor hasta la fecha que se corresponde con esa forma: factorial de un natural n menos uno?

Observa la siguiente ilustración (traducción debajo):

 

Traducción: "Este es el número primo más grande conocido de la forma n!-1, con 23560 dígitos: 6917! - 1. Hasta ahora,
solo hay 21 números primos conocidos de este tipo. Curiosamente, esta propiedad parece bastante común para n pequeños
como n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, etc., pero se vuelve extremadamente rara para n más grandes.
¡Divertirse!"