Category / Problemillas y Acertijos

by profe.mates.jac

Solución al problemilla de cuántos nueves hay del 0 al 1000

Enunciado del ejercicio: https://profematesjac.wordpress.com/2020/11/16/cuantos-9/

Solución:

  • Del 0 al 10 hay un nueve.
  • Del 10 al 20 hay otro.
  • Y así hasta del 80 al 89.
  • Del 90 al 100 hay once nueves.

En total en la primera centena (0 al 100) hay 20 «nueves». Y así en cada centena hasta la novena (del 800 al 899).

Por tanto hay 9*20 = 180 «nueves» desde el 0 hasta el 899.

En la última centena hay:

  • Del 900 al 909 hay once «nueves» y así hasta del 980 al 989. En total 9*11 = 99 «nueves» del 900 al 989.
  • Por último, del 990 hasta el 1000 hay 21 «nueves».

Sumando todo, resulta que hay 180 + 99 + 21 = 300 nueves del 0 al 1000.

Solución: 300 «nueves».

by profe.mates.jac

El problema de Monty Hall

 


Enunciado:
Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

  • Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger una entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
  • Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.
  • Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?


Solución:
La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección del jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las otras dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.