by profe.mates.jac

Cóncavo y Convexo: la eterna polémica

Reproduzco aquí en su totalidad un artículo que he visto interesante en la página http://www.matematicasdigitales.com/concavo-convexo-la-eterna-polemica/ de José Carlos Gámez.

En él se trata la «confusión» existente sobre la concavidad o convexidad de una función en un intervalo. Os dejo con su artículo:

«En el post de hoy vamos a tratar un tema bastante polémico en Matemáticas. Y es que sí, aunque muchos no lo entiendan, pueden producirse discusiones muy interesantes sobre esta ciencia, aunque bien es cierto que la mayoría de ellas acaba con un «Tienes razón. Me había equivocado en…».

Pero el tema de hoy no es así, y por tanto si nos ponemos cabezones, el dilema puede ser eterno.

 

Cuando estudiamos una función, ¿qué es cóncavo y qué es convexo?

Mientras lees esta pregunta es posible que estés pensando que es una tontería, porque a ti en el  instituto te lo dijeron bien claro con lo de «Con-vexo» (Con beso) al derecho o al revés, o simplemente te obligaron a que te lo aprendieras de memoria porque tu profesor o profesora tampoco sabía muy bien por qué es así.

Seguramente lo que no te dijeron es que la concavidad y la convexidad dependen del punto de vista desde el que se observa la gráfica. Verás:

Por definición algo es cóncavo cuando la persona observante ve que ese objeto tiende a tener una profundidad. Por ejemplo cuando te asomas a ver si quedan cereales o frutos secos dentro de un cuenco.

Por el contrario, algo es convexo cuando su tendencia es salir hacia afuera, en dirección al observante. Por ejemplo las jorobas de un camello.

Entonces claro, si hablamos del cuenco de antes, el objeto en sí no es cóncavo o convexo, sino que dependerá de si lo estoy mirando desde arriba o desde abajo.

Pues exactamente lo mismo ocurre con las funciones.

Se da la circunstancia de que, como en tantos otros formalismos, los físicos y los matemáticos tienen un punto de vista distinto, aunque ambos correctos.

Los físicos históricamente han mirado las funciones desde arriba, entonces para ellos la parábola y=x^2 es cóncava.

En cambio los matemáticos hemos mirado normalmente las funciones desde abajo, por lo que para nosotros la parábola y=x^2 es convexa.

¿Qué es lo correcto entonces? Pues ninguna de las dos opciones es mejor que la otra. Es solo un punto de vista tan respetable como cualquier otro.

Yo para curarme en salud, y como matemático que soy, siempre lo escribo de la siguiente forma, y enseño a mis alumnas y alumnos para que hagan lo mismo:

f(x) es convexa (U) en (0,+ ∞) (o el dominio que sea) y f(x) es cóncava (∩) en (-∞,0)

Así, con esa U ó ∩ que marca la curvatura, estamos dejando claro cuál es nuestro punto de vista.

Ya por último nos falta abordar otra cosita que ha avivado el fuego de esta polémica por más de un siglo.

Si eres español y tienes más de 30 años, seguramente te estarás preguntando: «¿Y por qué a mí en clase de matemáticas me lo enseñaron desde el punto de vista de los físicos?»

Por desgracia en España siempre hemos estado bastante rezagados en todo lo relacionado con cualquier ciencia, y los primeros estudios más o menos serios y avanzados se comenzaron a mediados del S.XIX. Evidentemente en aquella época no había prácticamente libros científicos escritos en castellano y se comenzaron a escribir y traducir obras en inglés, alemán o francés.

Una de esas obras en lengua extranjera fue la que se tomó como base del estudio de las matemáticas en España. El «problema» fue que era un libro de matemáticas destinado a estudiantes de física, y por eso en España le hemos llevado la contraria al resto del mundo por más de 100 años.

Esta costumbre comenzó a cambiar a finales de la década de los 80, intentando de esa forma adaptarnos al resto del mundo. Pero hoy día todavía quedan profesores y profesoras mayores que siguen defendiendo esta «tradición» española tan especial.

Como casi todo en la vida, la concavidad y la convexidad tienen un porqué y, como ya lo conoces, la opción que elijas es algo personal tuyo.»

 

No obstante, decir, que en mi opinión debemos seguir el punto de vista de los matemáticos, es decir: función cóncava (∩) y función convexa (U) , vistas desde abajo para tener consensuados los conceptos.

 
by profe.mates.jac

Orla de recursos TIC para profesores

27 recursos TIC útiles para nuestras clases. Podéis acceder a ella haciendo clic en Genially de abajo. Una vez en el Genially, haciendo clic en el logo de cada recurso, accederéis a una breve explicación del mismo y a la web de cada herramienta:

ORLA RECURSOS TIC (genial.ly)

 

Gracias a Manu Velasco ( AYUDA PARA MAESTROS )

by profe.mates.jac

Números triangulares

Un número triangular cuenta objetos dispuestos en un triángulo equilátero. 

El n-ésimo número triangular, Tn , es el número de puntos en la disposición triangular con n puntos en un lado, y es igual a la suma de los n números naturales de 1 a n, siendo por convención, el 1 el primer número triangular. Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban Tetraktys.

 

 

Cada número triangular Tn está definido por la fórmula: Tn = n(n+1)/2 (véase la demostración en la página que indico a continuación).

 

Sigue leyendo en: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_triangular

 

Gracias a la Wikipedia (es.wikipedia.org)

 

by profe.mates.jac

Hallar el volumen del cuerpo geométrico siguiente

Para 2⁰ESO.

Se trata de un cubo del que se ha sacado una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y de altura 2 cm.

Gracias por el problema a Antonio Baena Asencio https://www.facebook.com/antonio.baenaasencio

de Intelecto Matemático ( https://www.facebook.com/groups/intelectomat/ )

by profe.mates.jac

Unos números cuasi-pitagóricos

Una publicación de Pedro Miguel González Urbaneja (Pedro Miguel González Urbaneja | Facebook )

EL NÚMERO ÁUREO (Φ), EL NÚMERO e Y EL NÚMERO Pi (π) SON CUASI-PITAGÓRICOS★ Φ² + e² ≈ π²►«…

Excelsas, supremas, excelentísimas, incomprensibles, inestimables, innumerables, admirables, inefables, singulares cualidades…, que corresponden por semejanza al Dios mismo».

–– Luca PACIOLI (1447.1517). Célebre matemático renacentista (amigo de Leonardo y de los grandes artistas geómetras del período), refiriéndose a las cifras decimales del número áureo en su obra

–– “Summa de Arithmetica Geometría Proportioni et Proportionalità”.

►«Quien descubra el misterio de π , comprenderá el pensamiento de Dios… ».

–– Isaac NEWTON

►«¡Qué poema el análisis del número áureo!».

–– Paul VALERY (1971-1945). Escritor, poeta, ensayista y filósofo francés.

► «Dondequiera que haya un número está la belleza».

–– Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica y metodológica.

★ Los tres números Φ, e, π, están relacionados de forma cuasi-pitagórica: es decir:

Φ² + e² ≈ π²

El número Φ (áureo), el número e (euleriano) y el número π (pi, arquimediano) son tres de los más importantes y fascinantes de toda la Matemática. Estos tres números han captado la atención de los matemáticos y de los aficionados a la ciencia de Pitágoras, Arquímedes, Euler y Gauss, desde tiempo inmemorial, y además han gozado de especial curiosidad e interés no solo por la belleza de sus propiedades o la importancia de sus aplicaciones, sino también porque aparecen en las formas más imprevistas y en los lugares más inesperados.

El número áureo Φ es irracional (lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros) y algebraico (es la raíz de un polinomio de coeficientes enteros, x² − x −1). Está vinculado a la “Divina Proporción” (o sección áurea), que aparece por doquier, allí dónde hay una especial intensificación de la belleza, tanto en la Naturaleza como en el Arte.

● Φ = 1.6180339887498948482045868343656381177203……..

El número e=Lim [n→∞](1 + 1/n)^n. Es un número irracional y trascendente (no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros). Es la base del logaritmo natural o neperiano. El número e aparece en la radioactividad, en la evolución de las poblaciones humanas o bacterianas, en la Economía y en la Estadística. Es un número vinculado de forma especial al crecimiento. El número e se considera el más importante del Análisis Matemático.

● e = 2. 71828182845904523536028747135266249775724709369995…….

El número π (Pi) es irracional y trascendente. Es el cociente entre la longitud de toda circunferencia y la longitud de su diámetro. Es el número más importante de la Geometría. Tal vez el número que ha fascinado a mayor número de personas en todas las civilizaciones, donde aparece en multitud de documentos (incluso en la Biblia), ya sea por su esquiva naturaleza o por su ubicuidad. Vinculado secularmente al clásico problema de la “Cuadratura del Círculo”, nacido en la Grecia helénica, no resuelto de forma definitiva hasta 1882 por Lindemann. Es el número sobre el que más documentos se han escrito y hasta tiene un día al año de celebración, el 14 de marzo (representación de la fecha en Estados Unidos en la forma 3.14), que casualmente coincide con el cumpleaños de Albert Einstein.

● π=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286…..

Los tres números están relacionados de forma cuasi-pitagórica, es decir:● Φ² + e² ≈ π²

Calculemos:

► Φ² = 1.6180339887498948482 x 1.6180339887498948482 = 2.61803398874989484818974352655690104324

e² = 2.7182818284590452353602874713527 x 2.7182818284590452353602874713527 = 7.38905609893065022723042746057521169651031894078272262316779729

► Φ² + e² = 2.61803398874989484818974352655690104324 + 7.38905609893065022723042746057521169651031894078272262316779729 = 10.00709008768054507542017098713211273975031894078272262316779729

► π² = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286 x 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286 = 9.869604401089358618834490999876151135313699407240790626413349376220044822417892065892884297517360029251457007762396173276980714409571950602827820313796►

Por tanto: Φ² + e² ≈ π². C.Q.D.

Pedro Miguel González Urbaneja | Facebook

by profe.mates.jac

El número constante de Kaprekar

A la hora de elegir un número de la Lotería de Navidad, hay muchos que afirman no ser «supersticiosos» y dejar totalmente al azar, como el propio sorteo, la elección de números. «El que sea», es una de las frases más escuchadas estos días en las administraciones de Lotería, junto con el tradicional «que acabe en este número…». Porque los españoles también confiamos mucho en determinadas terminaciones, que juzgamos como potenciales candidatas para el Premio Gordo. Hay quien también elige sus dígitos «de la suerte» en base a fechas especiales o quien lleva apostando por exactamente el mismo número desde hace años. Pero puede que este año a usted le apetezca comprar una combinación de la Lotería de Navidad basada en algo más particular, que llega desde la raíz misma de la propia ciencia de los números: las Matemáticas. ¿Qué le parece apostar todo al «misterioso» número 6174, que esconde la constante de Kaprekar?

En 1949, el matemático indio Kaprekar de Devlali ideó un proceso que ahora se conoce como la constante de Kaprekar. Él descubrió que, llevando a cabo una serie de restas, un número de cuatro dígitos donde los números no son todos iguales (es decir, que no sean 1111, 2222, …), las operaciones llevan inevitablemente el resultado hasta el número 6174. Una vez elegido el número, hay que reorganizar los dígitos para obtener los números más grandes y más pequeños que estos dígitos pueden formar. Si cogemos el número más pequeño y más grande obtenidos y los restamos, nos dará un dígito diferente. Después repetiremos la operación con ese nuevo número. Llegará un momento en el que la solución de la operación resultará igual a 6174. Y, a partir de ahí, el resultado será siempre el mismo.

Sigue leyendo —-> https://cutt.ly/EhBwvjg