El área se calcula tradicionalmente con la fórmula de base * altura / 2 . En el ejemplo con Geogebra que pongo al final la base sería el lado a y la altura AD (h_a), es decir la altura sobre el lado A.

r es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo: su centro sería el punto intersección de las bisectrices de los tres ángulos del triángulo y su radio en la distancia de dicho centro O a cada uno de sus tres lados.

Entonces la fórmula para calcular el área del triángulo sería r * (a+b+c) /2, donde a, b y c son las longitudes de los tres lados de nuestro triángulo.

Una prueba visual de lo que digo lo podéis ver en:

 

Enlace al archivo de Geogebra (no olvides mover los vértices del triángulo y comprobar más abajo como el área no varía haciéndola por la fórmula tradicional y por esta que indico):

https://www.geogebra.org/m/dwwmgvzb